安防之家讯：下面用波动理论来分析阶跃光纤的导波。

用波动理论进行分析，通常有两种解法：矢量解法和标量解法。矢量解法是一种严格的传统解法，求满足边界条件的波动方程的解。这种方法比较繁琐，所得结果也比较复杂，而目前实用的光纤几乎都可以看成是弱导波光纤，对于这种弱导波光纤，可以寻求一些近似解法，使问题得到简化。

因此，这里将用标量近似解法推导出阶跃型光纤的场方程、特征方程，并在此基础上分析标量模特性。

1.什么是标量近似解法

由前面分析得知，在弱导波光纤中，由于，故有 而光纤中要形成导波时，θ1必须满足全反射条件，即 将以上两关系结合起来，即表示为 亦即在弱导波光纤，光射线几乎与光纤轴平行时，才可形成导波。

由预备知识中知道，平面波的传播方向（即射线方向）与平面波的E和H平面是垂直的，因而在弱导波光纤中的导波，由于它的射线方向几乎与光纤轴平行，因此，弱导波光纤中的E和H几乎与光纤轴线垂直。又由于把E和H只存在于与传播方向垂直的横截面上的这种场分布称为是横电磁波，即TEM波。故弱导波光纤中的E和H分布是一种近似的TEM波，即是近似的横电磁波。

这种具有横向场的极化方向（即电场的空间指向）在传输过程中保持不变的横电磁波，可以看成为线极化波（或称线偏振波）。 由于E（或H）近似在横截面上，而且空间指向基本不变，这样就可把一个大小和方向都沿传输方向变化的空间矢量E变为沿传输方向其方向不变（仅大小变化）的标量E。因此，它将满足标量的亥姆霍兹方程，通过解该方程，求出弱导波光纤的近似解。这种方法称为标量近似解法。

2．标量解的场方程

用标量近似解法推导场方程，是讨论阶跃光纤模式特性的基础。

（1） 坐标选取

几乎所有光纤都制成轴对称的形式。通常，讨论圆柱形边界问题时，一般采用圆柱坐标系，便于在求解时应用边界条件。为了分析方便，同时采用直角坐标系和圆柱坐标系，如图2-7所示。讨论时，用直角坐标系（x,y,z）表示它有几个场分量，而用圆柱坐标系（r,θ,z）表示各分量的空间变化情况。

（2） 场方程的推导思路及表达式

对于标量解场方程的推导，只给出推导思路及最后结果。

① 首先求出横向场Ey的亥姆霍兹方程

如选横向电场的极化方向与y轴一致，则横向场只有Ey分量，而Ez=0,则 它在圆柱坐标系中，满足矢量的亥姆霍兹方程，而矢量的亥姆霍兹方程已在预备知识中给出，为 图2-7坐标系中的光纤 即 将关系代入，得出 则 此式为横向场Ey的标量亥姆霍兹方程式。

② 将式（2-6）在圆柱坐标系中展开得出 此式为二阶三维偏微分方程。

③ 用分离变量法求解Ey

a.将Ey写成三角函数积的形式，即 其中，A是常数，分别是坐标r,θ,z的函数，表示横向场Ey沿这三个方向的变化情况。

b.根据物理概念，写出的表示式

Z(z)：表示导波沿光纤轴向z的变化规律。它沿z向呈行波状态传输，如设相位常数为β，则可写出 ：表示Ey沿圆周方向的变化规律。沿圆周当θ变化2π时，回到原处，场不变化，则可以确定Ey是以2π为周期的正弦或余弦函数。可写为 c.求R(r)的表达式

R(r)表示场沿半径方向的变化规律。通过上述的表示形式，Ey可写为 将式（2-8）代入式（2-7），经过整理得出 可见，方程变成了只含有R(r)的二阶常微分方程。方程中是常数，解此方程即可得到R(r)。

由于纤芯和包层的折射指数不同，分别为n1和n2，而且n1＞n2，这样使得纤芯和包层中的场有一定差别。对于导波：，则在

纤芯中：

在包层中：

因此，纤芯中的方程可化为标准的贝塞尔方程，而包层中的方程，可化为标准的虚宗量的贝塞尔方程，由此得出R(r)的解答式为

d.得出Ey的表达式

将式（2-10）代入（2-8），得出 如令： 常数A1,A2可根据边界条件求出，为 将以上关系代入式（2-11）,得出 此式即为横向得出Ey的解答式。

此式表明：Ey是沿z方向传播，其相位常数为β；沿圆周方向按cosmθ规律变化（或sinmθ）；沿半径方向，在纤芯中按贝塞尔函数规律振荡，在包层中按第二类修正的贝塞尔函数规律衰减。

④ 根据麦氏方程中E和H的关系，可得出横向磁场Hx的解答式。

由麦克斯韦方程可知为自由空间波阻抗。芯子和包层中的波阻抗，分别为和，则Hx的表示式为 将式（2-12）代入，经过推导后可得出 ⑤ 根据电场和磁场的横向分量，可用麦克斯韦方程求出轴向场分量Ez、Hz的解答式

由麦克斯韦方程可得出 将式（2-12）和式（2-13）代入上面Ez、Hz式中，经过整理，得出以下四个解答式。

纤芯中轴向电场分量Ez1的表达式为 纤芯中轴向磁场分量Hz1的表达式为 包层中轴向电场分量Ez2的表达式为 包层中轴向磁场分量Hz2的表达式为 （3） 场方程中参量符号的含义

① 导波的径向归一化相位常数U

径向归一化相位常数U定义为 表明在纤芯中，导波沿径向场分布规律

② 导波的径向归一化衰减常数W

径向归一化衰减常数W定义为 表明在光纤包层中，场的衰减规律

③ 光纤的归一化频率V

令 则 它是一个直接与光的频率成正比的无量纲的量，通常称为归一化频率。它决定于光纤的结构参数，即纤芯半径a，纤芯及包层的折射指数n1和n2，以及自由空间波数

3．标量解的特征方程

要确定光纤中导波的特性，就需要确定参数U,W和β。式（2-15）和式（2-16）给出了三个参数的关系式，还需要再有一个关系式，这就是特征方程式。

用波动理论去求特征方程，就是利用边界条件，令场的表示式满足边界条件，即可得到特征方程。

下面利用边界条件之一，即在纤芯包界面的边界条件r=a 处，电场和磁场的轴向分量连续，来求出特征方程。

由于在界面r=a 处Ez1= Ez2，将式（2-14a）和式（2-14c）代入此边界条件，得出 此式要在任意的θ值上成立，就必须使等式两端包含sin(m+1)θ的项和包含sin(m-1)θ的项的系数分别相等，于是可得到下面两个等式 对于弱导波光纤，n1≈n2，可以忽略它们之间微小的差别，则上式可写为 此式即为弱导波光纤标量解的特征方程。利用第一类贝塞尔函数与第二类修正的贝塞尔函数的递推公式，可证明这两个式子相等。这样，可任选其中之一即可，现取式（2-18b）为标量解的特征方程。

4．阶跃型光纤标量模的特性

（1）标量模的定义

上面用标量近似解法推导了阶跃光纤的场方程和特征方程，这种解法只适用于弱导波光纤，因为只有在这种情况下，光纤中传播的波才可近似看为是TEM波。它具有横向场的极化方向保持不变的特点

所谓“极化”就是指随着时间的变化，电场或磁场的空间方位是如何变化的。一般人们把电场的空间方位作为波的极化方向。

如果波的电场矢量空间取向不变，即其端点的轨迹为一直线时，就把这种极化称为直线极化，简称为线极化。

对于弱导波光纤，已假定了其横向场的极化方向保持不变，因此可认为它的横向场是线极化波，以LP表示。LP模的名称来自英文Linearly Polarized mode，即线性偏振模的意思。在这种特定条件下传播的模式，称为标量模，或LPmn模。

下标m和n的值，表明了各模式的场型特性。一般来说，模式的下表m表示模式的场分量沿圆周方向最大值有几对。下标n表示模式的场分量沿光纤直径的最大值有几对。不同的m,n值，即对应着不同的模式。

（2） 用标量解法得出的模式是简并的

不同的模式，有不同的场结构。但如果它们具有相同的传输常数时，就认为这些模式是简并的。在弱导波光纤中，不同的模式，只要它们以相同的β值沿轴向传输，即表明这些模式是简并的。

在前面分析场方程时，只讨论了横向电场Ey分量，而一般来讲，在横截面上还存在Ex分量，还可得出一个Ex的线极化模式，而方程中的 又可取两种分布，即这样，就又出现了两种模式，因此，在弱导波光纤中，可有相同传输常数的四个模式存在，也就是用一个标量解可得出四个简并模。

（3）截止时标量模的特性

① 截止的概念

当光纤中出现了辐射模时，即认为导波截止

导波应限制在纤芯中，以纤芯和包层的界面来导行，沿轴线方向传输。这时在包层内的电磁场是按指数函数迅速衰减的。如果导波的传输常数为β。由全反射条件可知

各项取正弦，得 各项均乘以，得 其中， 因此，导波传输常数的变化范围为 当时，对应于，这时电磁场能量不能有效地封闭在纤芯中，而向包层辐射，这种状态称为导波的临界状态。

当时，辐射损耗将进一步增大，使光波能量不再有效地封闭在纤芯中，这时，即认为出现了辐射模，导波处于截止状态。

② 截止时的特征方程

由于传输常数是导波截止的临界状态，因此可通过式（2-16），求出截止时归一化径向衰减系数为 为了使前面得到的特征方程，在W→0的情况下得到简化，根据数学知识知道，特征方程中的Km(W)可用如下的近似关系来代替： 当m=0时 当m>0时 由上面近似式可以看出，无论m为何值时，特征方程（2-18b）的右端均为零，即 于是可得出，在截止情况下，无论m为何值，都有 当U≠0时，要使此式成立，则必须 此式即为截止时的特征方程。

③ 截止情况下LPmn模的归一化截止频率Vc

导波截止时，归一化径向相位常数、归一化径向衰减常数和归一化频率分别用Uc、Wc、Vc表示。由前面得知： 而截止时 将式（2-19）代入，得出 即导波在截止状态下的归一化径向相位常数Uc与光纤归一化截止频率Vc相等。如果求出了Uc值，即可知Vc，也就决定了各模式的截止条件。

前面已求出，当U≠0时，截止时的特征方程为 满足此关系的U值，就是m-1阶贝塞尔函数的根值，这个根值一般用μmn表示，是m阶贝塞尔函数的第n个根值。m是贝塞尔函数的阶数，n是根的序号，即是指第几个根。

联系到前面分析弱导波光纤各分量的解答式，即式（2-12）~（2-14）中不同的m,n值将对应于场的不同分布状况，故可以说，对应于不同的LPmn模式。例如

当m=0时为LP0n模式，其特征方程为 则由贝塞尔函数知识，知道 当m=1时为LP1n模式，其特征方程为，则 当m=2时为LP2n模式，其特征方程为，则 将以上各值列于表2-1中，即为截止情况下LPmn模式的Uc值。 表2-1 截止情况下LPmn模的Uc值 n

m012102.404833.8317123.831715.520037.0155937.015598.6537310.17347由于截止时Uc= Vc，则此表也代表了各LPmn模的归一化截止频率Vc值。而模式的传输条件：V>VC时可传;V≤VC时截止。因此当模式的归一化频率值V=Vc时，则该模式截止。

由表2-1看出，m=0,n=1的LP01模的 Uc=Vc=0，说明此模式在任何频率都可以传输，即LP01的截止波长最长。在导波系统中，截止波长最长的模是最低模，称为基模或主模。其余所有模式均为高次模。

在阶跃型光纤中，LP01模是最低工作模式（基膜），LP11模是第一个高次模。因此，要保证阶跃光纤中只传输单模时，必须抑制住第一高次模，即 此条件为阶跃型光纤的单模传输条件。

（4）远离截止时标量模的特性

① 当V→∞时，即为远离截止。

由式（2-17）可知 其中代入上式，经过整理得出 当时，要使此式成立，则必须使，即此时纤芯半径相对于来说，相当于无限大空间，可认为光波是在无边界的介质中传播，这时其传播常数相当于在光纤中沿轴向传输，即

也就是说，当时，V>>Vc，大多数模式将远离截止。

因此，当时的这种极限情况，可认为是模式远离截止时的状态。

② 远离截止时标量模的特征方程

由于此时，将它代入式（2-16），可得 其中，因此。此时m阶第二类修正的贝塞尔函数Km(W)可用大宗量情况下的近似式，即

将它代入式（2-18b），得出 要使得此关系式成立，则必须 此式即为远离截止时，标量模的特征方程。

③ 远离截止时LPmn模的U值

式（2-22）中的U值是m阶贝塞尔函数的根，一般用μmn表示，即U= μmn ,其中 m是贝塞尔函数的阶数，n是根的序号。一组m,n值有一个相应的μmn，即对应着一个U值，也就对应着一个模式。由贝塞尔函数知识知道，对于一个给定的m值，它所对应的根不是一个而是一族。

利用远离截止时的特征方程，在不同的m值情况下，即可求出所对应的模式的一族根值。例如，

当m=0时为LP0n模式，其特征方程为，则零阶贝塞尔函数的根为μ0n，其值为 当m=1时为LP1n模式，其特征方程为，则 要注意的是μmn中的下标n是根的序号。故是从“1”而不是从“0”开始。

将以上各值列于表2-2中，即为远离截止情况时LPmn模式的U值。

以上是时的情况，此时光能完全集中在芯子中，包层中没有能量。

5．阶跃光纤中的功率分布

计算各LP模在纤芯和包层里所占功率的百分比是有实际意义的。

对于某个模式，理想情况下其电磁场能量应被封闭在纤芯中沿轴向传输，但实际上，在纤芯和包层的界面处，电磁场并不为零，而是由纤芯中的振荡形式转变为包层中的指数衰减。因此，要传输的导波能量大部分是在纤芯中传输，而有一部分则在包层中传输。功率在纤芯和包层里所占比例的大小和该模式的截止频率有关。 当V→∞时，它的能量将聚集在纤芯中；

当V→Vc时，能量的大部分是在包层里，这时的导波将成为辐射模。 表2-2 远离截止时LPmn模的U值 01212.404833.831715.1356225.520087.015598.4172438.6537310.1734711.61984通过计算各模式在纤芯和包层里的功率可以看出能量在纤芯中集中的程度。计算方法是将沿轴线方向的坡印廷矢量，分别在光纤的芯子和包层的横截面上进行积分，就可以求出在纤芯中传输的功率Pi和在包层中传输的功率P0，再将芯子和包层中的功率相加，即可得出光纤中的总功率Pt。

计算公式的具体推导步骤省略，这里只给出最后的结果：

纤芯中的功率Pi为 包层中的功率P0为 光纤中的总功率Pt为 6．阶跃光纤中导模数量的估算

在光纤中，当不能满足单模传输条件（0<V<2.40483）时，将有多个导波同时传输，故称多模光纤。传输模数量的多少，用M表示。

估算光纤中的模数量，可用近似方法求得。首先根据截止时的特征方程，求出恰处于截止状态的模式，则比该模式低的所有模式都处于导行状态，因此，便可计算出导波的数量。具体过程从略，这里只给出最后结果： 这是阶跃多模光纤近似的模数量表示式 。可以看出，导模数量是由光纤的归一化频率决定的。当纤芯半径a越大，工作频率越高时，传输的导波模数量就越多。安防之家专注于各种家居的安防,监控,防盗,安防监控,安防器材,安防设备的新闻资讯和O2O电商导购服务，敬请登陆安防之家：http://anfang.jc68.com/