安防之家讯：图1是最少拍控制系统结构图,其中H0(s)为零阶保持器，GP(s)为被控对象，D(z)即为待设计的最少拍控制器。
　图1 最少拍随动系统框图
定义广义被控对象的脉冲传递函数为

这里，广义被控对象的脉冲传递函数在z平面单位圆上及单位圆外没有极点，且不含有纯滞后环节。
闭环脉冲传递函数为
　(1)
误差脉冲传递函数
　(2)
则有
　(3)
根据式(2)知
(4)
将其展开如下形式：
　(5)
根据最少拍控制器的设计准则，系统输出应在有限拍N拍内跟踪上系统输入，即i≥N之后，e(i)=0，也就是说，E(z)只有有限项。
由式(4)可知，E(z)与系统特性Φe(z)及输入信号R(z)有关。因此，在不同输入信号R(z)作用下，本着使E(z)项数最少的原则，选择合适的Φe(z)，即可设计出最少拍无差系统控制器。
常见的典型输入信号有：
单位阶跃输入
单位速度输入
单位加速度输入
单位重加速度输入
……
一般地，典型输入信号的z变换具有如下形式：
(6)
式中，A(z-1)是不包含(1-z-1)因式的z-1的多项式。
将式(6)代入式(4),得到
（7）
因此，从准确性要求来看，为使系统对式(6)的典型输入无稳态误差，Φe(z)应具有的一般形式为：
(8)
式中，F(z-1)是不含(1-z-1)因式的z-1的有限多项式。选择合适的Φe(z)就是选择合适的p及F(z-1)。式(8)及式(3)是设计最少拍控制系统的一般公式。
为使要设计的数字控制器形式最简单、阶数最低，应取F(z-1)=1，这样E(z)中关于z-1的项数才会最少。下面分别讨论不同输入下的情况。
(1) 单位阶跃输入

为使E(z)项数最少，选择Φe(z)=1-z-1，即p=1，F(z-1)=1，使Φe(z)具有最简形式，则

由z变换定义可知e(t)为单位脉冲函数，即

也就是说，系统经过1拍，输出就可以无差地跟踪上输入的变化,即此时系统的调节时间ts=T，T为系统采样时间。误差及输出系列如图2所示。

图2 单位阶跃输时的误差及输出序列
(2) 单位速度输入

由式(7)易知，选择p=2, F(z-1)=1, 则Φe(z)=(1-z-1)2，可使E(z)具有最简形式：

则e(0)=0,e(T)=T,e(2T)=e(3T)=e(4T)=…=0
即系统经过2拍，输出无差地跟踪上输入，系统的调节时间ts=2T。误差及输出序列如图3所示。

图3 单位速度输入时的误差及输出序列
(3) 单位加速度输入

由式(7)可知，选择p=3，F(z-1)=1，即φe(z)=(1-z-1)3，可使E(z)有最简形式：

也就是说，经过3拍，系统的输出可以无差地跟踪上输入,即系统调节时间ts=3T。误差及输出序列如图4所示。

图4 单位加速度输入时的误差及输出序列
由上面讨论可以看出，最少拍控制器设计时，Φe(z)或Φ(z)的选取与典型输入信号的形式密切相关，即对于不同的输入R(z)，要求使用不同的闭环脉冲传递函数。所以这样设计出的控制器对各种典型输入信号的适应能力较差。若运行时的输入信号与设计时的输入信号形式不一致，将得不到期望的最佳性能。
例如，当Φ(z)是按单位速度输入信号设计时，有

从前面讨论可知，系统输出经2拍在采样点处无差地跟踪上输入。
保持按此选择设计的D(z)不变，对应另两种典型输入时的输出如下：
阶跃输入：

单位加速度输入：

响应曲线如图5所示。

图5 按单位速度输入设计的最少拍系统的响应序列
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