2.哈尔滨工业大学(威海)计算机系，山东威海264209；
3.东北电力学院电力工程系，吉林吉林132012) 将分形理论应用于电力系统，通过对负荷曲线分形维数的计算和分析，揭示了电力系统负荷曲线和分形特性，为分析电力系统负荷提供了一种新的思路。
关键词：非线性；分形理论；电力负荷电力系统是一个复杂的非线性系统。以电力系统负荷为对象，它是系统中千万个用电设备所用功率的总合。通过绘制负荷随时间的变化曲线，发现这是一条上下波动、形状复杂的曲线，无法给出其定量的函数关系或方程描述。为此，我们应用分形几何理论对电力系统负荷的几何特征进行了研究。通过计算电力负荷数据时间序列在一定尺度范围(即无标度区间内)具有非整数的维数(即分数维)，从而证明了负荷的分形特性。这样，就避开了系统内部错综复杂的联系，只提取系统运行时的某一特征信号作为参量进行分析，进而从一个新的角度给出对系统特性的描述。1分形理论
1.1概述
分形理论是一门非线性系统理论，它研究的对象是在非线性系统中产生的不光滑和不可微的几何形体。分形理论认为，分形内部任何一个相对独立的部分，在一定程度上都应是整体的再现和缩影。这一观点指出部分与整体的信息“同构”，从而找到由部分过渡到整体的桥梁。在非线性复杂系统中，分形的独特性即表现在它是用一个变量即分形维数来描述整个系统，从而将系统由多变量转化为单变量，模型由高阶降为低阶，这一点在工程上具有重要意义。
目前为止，分形已广泛应用于数学、物理、化学、材料科学、表面科学、非线性动力学、图象分析、生物与医学、地震和天文学以及计算机科学等等。
1.2分形的两个重要特性：
分形的两个特性是自相似性和标度不变性。
自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的。或者某系统(或结构)的局域与整体，整体与整体之间的性质存在自相似性。自相似性可以存在于自然科学和社会科学的众多领域之中。比如植物的一根茎，一条枝，一片叶都包含着这种植物的全部信息或者说是一整套基因，它们可以培育成完整的植物体。从分形角度看，这正好反映了植物体本身所具有的自相似性。
标度不变性又称之为伸缩对称性，是指在分形上任选一局部区域对它进行放大时得到的放大图又会显示出原图的形态特征。即有下式成立：
其中：t为时间尺度；r为空间尺度。
除了严格的数学模型外，对实际的分形体来说，这种标度不变性只在一定范围即无标度区间适用。
1.3分形参数
描述分形信号的两个主要参数是分形维数和无标度区间。
分形维数描述了分形曲线的复杂程度、不规则程度、填充空间的能力等等。分形维数的计算方法很多，大致可以根据以下五种途径：观察尺度；测度关系；相关函数；分布函数；频谱。其中第一种方法比较常用，也就是在无标度区间内改变码尺δ，利用某曲线具有N(δ)⊃⊂δ-D的关系求维数。
无标度区间也就是分形维数基本保持恒定所对应的尺度范围。δmin＜δ＜δmax时分维是一个确定的不变值D，当δ超出此区间时分维则是不确定的值。一般是先做出lnδ-lnN(δ)曲线图，从中找出线性关系好的一段做相关系数检验，若能通过，就将该段选作无标度区间，并用最小二乘法作一元线性回归，拟合出直线的斜率作为分维D的估计值。
2分形参数的算法
2.1分形维数
本文根据观测尺度求维数，具体用了以下三种算法：
(1)sandbox法
这种方法适用于由离散点构成的分形图形。对取定的码尺δ，将分形图形重心置于边长为δ的256*256网格的中心，设第αij个方格中的点数为Nij，令
逐步增大δ直至分形图形的最大尺寸，得到一系列的δi和相应的N(δi)，作一元线性回归［lnδi,lnＮ（δi)］得到分形图的容量维：
(2)时间序列法
这种方法适用于已知的一组时间序列。设有一组具有N个元素的时间序列：｛x1,x2，……，xN｝，每一元素为一对应的坐标对。取一正数r，检查在时间序列中有多少“点对”(x1,xj)之间的距离‖xi-xj‖小于r，把距离小于r的“点对”占所有“点对”的比例记为c(r)
适当选择r,使其一段区间内有：c(r)=rＤ，则D是时间序列分维数。
(3)计盒维数法
将对象A用一个矩形网格(设小方网格的边长为δ)盖住，然后开始计数，只要网格中含有A的任何一部分时均可计数，逐个数出这样的网格数目N(δ)。如果选取不同的标度δ，N(δ)与δ都将满足下列关系：(其中D为恒定值)。
则集A为分形分布，且D为其计盒维数。
2.2无标度区间(δmin,δmax)的确定
为了减小总体误差，本文采用了汪富泉等提出的用分段直线逼近取其中一段作回归的方法，原理如图1，中间一段可以作为无标度区间。
3基于分形理论的电力系统负荷几何特性分析
以某省各地区负荷数据为例。经过观察发现各地区负荷虽然在数值上有大有小，波动程度上有缓有急，负荷曲线复杂程度(或者说不规则程度)有强有弱，但总体看来仍有一定的相似性。下面分别用前述的三种方法考察负荷的分形特性。
以Ⅰ号地区为模型，取时间为δ变量，分别采用sandbox、时间序列、数盒子三种算法并绘制相应的lnδ-1lnN(δ)曲线，如图2所示。标度不变性和相似性就意味着在无标度区间内维数不变，在lnδ-lnN(δ)图上就意味着在一定区间内直线斜率不变。从图中可以看到各曲线上的确存在着这样线性度很高的区间，并且取该段为无标度区间较为合适。在此区间内求得三种算法下各地区月负荷分形维数如表1：经过上面三种方法的计算可以看出，虽然每种方法计算结果不同(因为分形维数定义不同)，但三者有一个共同特点：即是在一定尺度范围内(线性度较好的ab段无标度区间内)分形维数各自近似相等(有统计自相似性)。这正是分形的两个重要特性。
下面以sandbox法为例，对负荷的分形特性作具体分析。用sandbox算法，得到各地区不同时间负荷分维数如表2表示。
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