关键词：电力系统；状态估计；非线性加权最小二乘；分块QR分解1引言
状态估计是能量管理系统的重要组成部分。电力系统的各种高级应用软件诸如安全分析、经济调度、最优潮流等都要以状态估计所提供的实时可靠数据作为基础。依赖系统的网络参数和各种量测数据，并根据量测量与系统状态变量之间的数学关系式，借助于某种数学方法获得系统状态的过程称之为电力系统的状态估计，在数学上一般可描述为非线性加权最小二乘问题。
在电力系统的各种量测数据中，除了通过SCADA获得实时的遥测量外，为了保证系统的可观测性并利用冗余数据提高状态估计的精度，可能还会包括伪测量和虚拟测量。遥测量一般包括节点电压幅值、节点注入功率、支路功率等；伪测量属于人工设置的数据，这些数据可能来自于潮流计算、以前状态估计的结果、历史数据或调度人员的猜测；虚拟测量是一种事先预知的可靠信息，例如联络节点的注入功率必然为零。各种测量的精度决定了它们在状态估计目标函数中权因子的大小，一般情况下，测量的精确越高，所赋予的权因子越大。遥测量的精度取决于测量仪表本身和数据传输过程中的误差；伪测量数据的误差一般较大；虚拟测量则绝对准确，不存在误差。
近30年来，已提出多种电力系统状态估计方法[1~17]，并且一些方法已被成功地用于电力工业的实践。早期的正规方程(NE－NormalEquations)迭代方法，由于其系数矩阵的条件数很大，使方程出现病态，因此，直接求解(Gauss消去或Cholesky分解)时的数值稳定性很差，导致非线性加权最小二乘问题收敛很慢甚至不收敛。电力系统状态估计中的病态经常出现，给各种不同的测量配置很大和很小的权因子(如虚拟测量和伪测量有很大和很小的权因子)，包含大量的注入测量，长线和短线相连等都可能导致病态的出现，以致方法的收敛出现问题。正交变换法(Orthogonal)[1~3]和混合法[4]通过直接对Jacobian矩阵的QR分解，使得正规方程求解的数值稳定性得到大大的提高，从而对系数矩阵条件数较大的正规方程能够得到可靠的解。但前者的主要缺点是需要保存正交变换矩阵Q，由于该矩阵不再是稀疏的，因而需要占用大量存储空间；而后者不需存储Q，但和前者相比其数值稳定性相对要差一些[1]。
NE/C方法[2]将虚拟测量处理为等式约束，从而把状态估计问题变为带约束的非线性加权最小二乘问题，并通过Lagrange乘子法得到每步迭代需要求解的线性方程组，避免了赋予虚拟测量很大权因子所导致的病态问题。然而，这时的系数矩阵不再是正定的，其求解的数值稳定性难以被保证。Hachtel增广矩阵法[5]将残差向量也设定为未知量，从而使得NE/C中的线性方程组增广为Hachtel方程。其中的增广系数矩阵中避免了Jacobian矩阵叉乘，从而具有较好的数值特性。但增广系数矩阵仍然是非正定的，并且矩阵的阶数大大增加，不利于算法实现的效率。
文[6]提出了一种数值稳定的分解方法，它将等式约束状态估计分解为两个无约束最小二乘问题，并用Givens旋转加以实现，结果表明该方法比NE、NE/C、混合法及Hachtel法有更好的数值稳定性，但该方法的实现过于复杂。文[11]通过适当的处理，使得NE/C中的系数矩阵变为正定矩阵，从而保证了方法的鲁棒性。文[12]、[13]提出应用内点法求解带有等式和不等式约束的状态估计问题，具有很高的计算效率和鲁棒性，但不太适合大规模系统。随后，也有人提出了适合于大规模系统的快速解耦状态估计[14]和考虑拓扑、参数及坏数据处理的广义状态估计[15]。对于大规模电力系统来说，Jacobian矩阵是大型稀疏的，因而对其进行QR分解时利用Givens旋转要比Householder变换的效率更高。另外在进行QR分解过程中会产生大量的中间注入元素，并且最终的阵中也含有注入元素。前者会增加Givens旋转的次数，后者则增加前代回代的计算量。选择合适的列消去顺序和行消去顺序,有助于保持矩阵的稀疏性并减少分解的计算量[16]。文[6]~[10]对基于Givens旋转的稀疏QR分解用于电力系统状态估计做了许多卓有成效的研究工作。
本文将提出一种基于分块QR分解的状态估计算法。它属于一类带约束的正规方程方法，避免了赋予虚拟测量过高的权因子而带来的数值不稳定问题。系数矩阵的求解采用分块QR分解算法，不但消除了Jacobian矩阵叉乘造成的信息损失，而且保证了分解的数值稳定性，并且分解过程中不需要保存正交矩阵。另外，基于最小度算法安排状态变量的次序，可减少R阵中的注入元素数目；利用行变主元策略的Givens旋转进行稀疏QR分解，从而减少分解中的中间注入元素数目，从而可总体上提高状态估计的计算效率。
2最小二乘状态估计法存在的问题
电力系统的状态通常定义为所有节点电压幅值和相角的集合。状态估计的数学模型基于如下测量与状态变量之间的数学关系：
z=h(x) v(1)
式中z为m维测量向量；h(×)为m维非线性函数向量；x为n维状态向量；v为m维测量偏差向量。
一般假设误差{v1,v2,…,vm}是服从正态分布(均值为零)的相互独立的随机变量。测量误差vi的方差可度量测量的精度，方差大表示相应的测量误差大。不难证明如下最小二乘问题：
将遥测量、伪测量和虚拟测量按适当的权因子统一在式(2)中处理，则式(2)的最优性一阶必要条件可用牛顿法求解，得到每次迭代过程中需要求解的线性方程组为
如果系统是可观测的，则系数矩阵G为对称正定矩阵，可以用一般的稀疏矩阵分解算法对它进行三角分解，从而通过前代和回代求得修正量，这就是所谓的NE法。系统固有的病态和赋予虚拟测量较大的权因子，使得W1/2H的条件数较大。加之G的计算需要矩阵叉乘，这样不但会造成信息损失，而且导致G的条件数是W1/2H条件数的平方[17]。这些都将导致NE法出现数值不稳定问题。
线性加权最小二乘问题为
在正交变换法[2]中，每次迭代求解式(5)时，对做QR分解，得
当Dx满足式(8)时，式(5)有最小值。
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