关键词：电力系统；稳定性；混沌；分岔1引言
随着电力系统稳定问题的深入研究，国内外学者相继发现电力系统中存在十分复杂的混沌现象。混沌是非线性系统中各参数相互作用导致的一种非常复杂的现象[1]，它在电力系统中出现时，将伴随系统运行参数持续无规则的振荡，严重危害系统的运行安全。
Abed[2,3]和Srivastava[4]根据由连续倍周期分岔(PDB,PeriodDoublingBifurcation)导致混沌的途径[5~10]及这一现象出现的规律，致力于研究消除电力系统混沌现象的办法。其后，在研究小扰动稳定域与混沌现象的关系中，又发现了由于初始能量直接激发导致混沌出现的途径[11]，但在实用的电力系统小扰动稳定域的研究中，可以不考虑混沌现象的存在[12]。
环面分岔(TB,TorusBifurcation)也是导致非线性系统出现混沌现象的一种重要途径[1,13,14]，且具有环面特性的混沌系统具有许多奇特的现象，但在电力系统混沌现象的研究中却从未被论及，为此，本文借助一个简单的3节点系统[15]，对电力系统TB和经由TB出现的混沌现象的特点进行了分析。
用非线性微分方程表示的动态系统为式中x为状态变量，l为分岔变量。
平衡点方程为
f(x,λ)=0(2)
静态分岔研究的是式(2)解的数目随分岔变量l连续变化发生改变而出现的分岔现象；动态分岔研究的是与式(1)的闭轨、同宿和异宿轨道以及不变环面的产生、消失和变化相关的分岔现象。
假设式(1)具有周期解，周期为T，当初始点为x0时，对应的解为xt=f(x0,t)，则有定义1(Poincaré截面)：假设å是n维子空间U(ÌRn)中n-1维超平面，且满足①f(x)与å满足横截性条件，即f(x)×n(x)¹0，xÎå，其中，n(x)为å在点x处的法线向量；②å与受向量场f(x)控制的流f相交于唯一点。则称超平面å构成向量场f(x)或流f的一个Poincaré截面。定义2(Poincaré映射)：假设G为流f的任意一条周期轨道，并与Poincaré截面å交于点p，由式(3)可得f(p,T)=p，即从p点出发的流，在一个周期的时间后，将回到p点。假设qÎU为p附近的一个点，当2点足够接近时，由q点出发的轨迹将再次与Poincaré截面å相交，定义对应轨迹第一次返回点的映射为：P:U®å，则对于任意这样的点qÎU，在映射P的作用下有式中t(q)为由点q出发的流返回å所需的时间。通常情况下，如果p¹q，则t(q)¹t(p)=T，但当p®q时，t(q)®t(p)。这里，将P:U®å称为流f的Poincaré映射。
定理1(Floquet定理)：设f(x)由式(1)给定，f为向量场f决定的流，则有式中*代表一个(n-1)´(n-1)维矩阵，通常不为零。
定义3(Floquet因子FMs)：定义f(x)的Poincaré映射雅可比矩阵DPp(p)的n-1个特征值为f(x)决定的流f的Floquet因子FMs。
定理2设mi(i=1,2,¼,n-1)为流f的n-1个FMs，若满足|mi|<1，i=1,2,¼,n-1，则f的任何周期轨道G都是渐进稳定的。
当系统参数l连续变动时，若有FM绝对值变为大于1，式(1)所示系统将出现动态分岔现象，稳定周期解被破坏。根据FMs变化的不同，可能遇到3类动态分岔现象：环面折叠分岔(CFB,CyclicFoldBifurcation)、倍周期分岔(PDB)和环面分岔(TB)，它们与非线性系统混沌现象的产生有着密切的联系，其中，①CFB：如图1中的①所示，有一个FM沿实轴从(1,0)穿出单位圆，将导致系统稳定的极限环破裂，周期轨迹发散。这同平衡点解曲线出现鞍节点(SNB)类似，只不过是SNB出现在系统稳定的极限环上；②[1][2][3]下一页
