关键词 低频振荡 Hopf分歧理论 中心流形理论 系统参数
分类号 TM712STUDYONNONLINEARSINGULARITYPHENOMENONOFLOWFREQUENCYOSCILLATIONINPOWERSYSTEMDengJixiang，MaJinglan
NortheastChinaInstituteofElectricPowerEngineering，132012，Jilin，ChinaAbstract basedontheHopfbifurcationtheory,thenonlinearsingularityphenomenonoflowfrequencyoscillationisstudiedbymeansofcentermanifoldtheoryincasethegeneratormodelisexpandedtothefourthorderandtheexcitationsystemoperatingparametersarechanged.Theresultshowsthat,fordifferentoperatingpoints,onlythesub-criticalbifurcationoccurswhentheexcitationparametersarechanged.Thatis,thegrowingoscillationforthenonlinearsystemwillbeexpandedtotheleftsideofplaneSandthestabilityrangeofthesystemwillbereducedbecauseoftheappearanceofthesub-criticalbifurcation.
Keywords lowfrequencyoscillation Hopfbifurcation centermanifoldtheory powersystemparameters0 引言
分歧现象是非线性系统的重要特点之一。80年代开始，人们利用分歧理论研究电力系统中的分歧，即非线性奇异现象。在电压稳定［1～3］、轴系扭振［4］以及低频振荡［5，6］的研究中均发现了与传统分析方法(线性化分析方法)不同的结论，使电力系统稳定与控制的研究有了新的突破。80年代中期，Abed和Varaiya首次揭示了电力系统低频振荡中的非线性奇异现象，并指出这种现象是由于Hopf分歧引起的［5］，而在此之前，文献［7］在研究位于芝加哥的commonwealthedison电力系统时，已经发现该系统的振荡是发生在线性化模型靠近虚轴的地方，该文虽没有明确指出，却也强烈暗示振荡是由于分歧现象引起的。在现代电力系统中，随着电网规模的不断扩大，机组容量的增大以及快速励磁系统的投入，使系统出现增幅性低频振荡的可能性越来越大，所以以往认为按经典稳定理论所确定的系统静态稳定储备较大，系统不会运行在临界点(即线性化模型特征根实部为零)附近的说法已不全面，将分歧理论用于低频振荡的研究也就有更加现实的意义。
本文利用Hopf分歧理论和中心流形理论，在文献［6］的基础上，把发电机的模型扩展到四阶，针对多个系统参数，揭示了低频振荡中存在的这种非线性奇异现象。1 低频振荡的分析方法
对电力系统低频振荡的研究始于60年代，迄今为止主要有以下几种研究方法：①特征分析法：这种方法的特点是，求出系统线性化模型的全部特征根，如果这些特征根都位于S平面的左半平面，则系统是Lyapunov意义下渐进稳定的。只要有一个特征根越过虚轴，系统将是Lyapunov意义下不稳定的。这是长期以来研究低频振荡的主要方法，然而这种方法无法分析电力系统在临界点附近所出现的一些非线性奇异现象。②时域仿真法：通过计算系统受到扰动后各变量的动态过程来进行分析，其优点是较为直观，但对于小干扰的稳定分析就较困难。此外对大型电力系统，存在仿真机时长、计算费用高的缺点，而且不像频域法那样能包含较多的信息，因此主要作为辅助分析方法。③分歧理论：用分歧理论研究低频振荡问题的一个突出优点是，充分考虑了电力系统的非线性特性，它用特征值并结合高阶多项式从数学解空间结构上来分析系统的稳定性，能够解决系统在临界点附近的稳定问题。2 分歧理论
考虑非线性自治系统：(1)式中 x∈n，p∈是系统参数(或控制参数)。
在平衡点处展开式(1)为：(2)当矩阵A(p)的特征值均有非零实部时，式(1)与式(2)描述的系统在平衡点附近对小干扰是拓扑等价的，奇异现象就发生在使A(p)具有零实部特征值的点处。如果p=pc时，A(p)有零特征值穿越虚轴，将出现静分叉现象；如果p=pc时，A(p)有一对共轭的特征值(虚部不为零)穿越虚轴，就会发生Hopf分歧，即由稳定平衡态到周期解的突变。本文就是利用Hopf分歧理论，分析电力系统低频振荡中的这种非线性奇异现象。系统发生Hopf分歧后，分叉的周期轨道是否稳定是个重要问题，判断周期轨道稳定性的方法主要有以下2种。
2.1 特征乘子法［4，8］
这种方法首先求出与周期轨道相关的Monodromy矩阵，然后利用该矩阵的特征根(称为特征乘子或Floquet乘子)判断系统稳定性。具体的判断方法是：在该矩阵的n个特征根中，必有1个特征根的模等于1，如果其余n-1个特征根的模均小于1(即均位于单位圆内)，则系统将是稳定的；只要有一个特征根的模大于1(在单位圆外)，系统就是不稳定的。
2.2 利用曲率系数β2判断
由分歧理论可知，β2的正负决定分歧发生时系统是否轨道稳定。若β2>0，在临界点附近，系统将由Lyapunov意义下的渐进稳定跃变为轨道不稳的非线性振荡，称为亚临界分歧；若β2<0，在临界点附近，系统将由Lyapunov意义下的不稳定(增幅振荡)跃变为轨道稳定的非线性振荡(等幅振荡)，称为超临界分歧。此外还可以利用α′(pc)的正负判断分歧发生的方向(α′(pc)称为横截条件)，即在亚临界分歧情况下，若α′(pc)>0，分歧发生在临界点左侧，若α′(pc)<0，分歧发生在临界点右侧；反之，在超临界分歧的情况下，如果α′(pc)>0，分歧发生在临界点右侧，若α′(pc)<0，分歧发生在临界点左侧。横截条件α′(pc)的求取方法见文献［5，6，9］。
以上2种方法中，第1种方法的关键是获得与周期轨道相联系的Monodromy矩阵，而要取得该矩阵的解析解是非常困难的，一般是利用数值方法解一个两点边界值问题；用第2种方法求曲率系数β2时，对于n=2的系统，求β2的计算较为简单，文献［5］给出了β2的计算公式，而在高维系统(n>2)的分析中，需要首先进行一个简化过程，即将高维非线性空间向低维流形化简，降维后的流形应保留原非线性系统的全部必要的非线性特性。简化的方法有中心流形理论、Lyapunov-Schmit方法［10］等，使用最为普遍的是中心流形理论，本文将采用这一理论进行化简。3 中心流形理论
中心流形理论的思想是，当所研究的非线性系统发生了Hopf分歧时，可以将该系统的非线性特征空间分裂为2个子空间Ws和Wc，子空间Ws是局部衰减的子空间，其中的全部特性被指数地收缩；子空间Wc是一个两维的子空间，系统的全部奇异特性就凝聚在其中。这样一来，就能够仅用一个两维的微分方程(分歧方程)描述出系统在临界点附近的全部动态信息，求解这个两维的微分方程就可以求得曲率系数β2以及关于周期轨道的其他信息。对中心流形理论更详细的描述见文献［9，11］。4 低频振荡中的非线性奇异现象
图1为一单机—无穷大系统，忽略线路电容和电阻，线[1][2][3]下一页
