关键词:无功优化规划;Bender''s分解;原－对偶仿射尺度法1引言
电力系统无功优化是保证系统安全、经济运行的有效手段，是提高电力系统电压质量的重要措施之一。无功优化规划的目的是在城市电网规划的基础上，确定无功补偿设备的安装位置和容量，以最经济的投资保证系统维持合理的电压水平，同时降低系统网损，实现系统的安全、经济运行。
很多学者已经把各种优化技术引入到电力系统的无功优化领域，取得了大量研究成果。其中Bender''s分解技术被认为是一种十分有效的方法，它可将原问题分解为投资子问题和运行子问题，根据各问题的特点分别求解，在一定范围内有效地解决了无功优化规划变量与约束条件多而且类型不一、求解困难的问题，并在城市电网规划实际应用中显示出良好的灵活性和实用性［1，4］。
在解决运行子问题时，文献［4］使用单纯形法。尽管单纯形法在大多数情况下都具有较好的收敛性，但对单纯形的计算复杂性的分析表明：单纯形法具有指数时间复杂性。1984年，Karmarkar提出了称之为内点法的求解线性规划的多项式时间算法——投影尺度法之后，这类方法以其较少的计算时间和较强的求解大规模问题的能力立即引起了人们的关注。与单纯形法沿着可行域边界移动寻优不同，Karmarkar最初的算法是建立在线性规划问题的单纯形结构上的，它在每步迭代中通过空间变换将现行解置于多胞体的中心，并在可行域的内部移动寻优。在内点法初始算法的基础上，又有学者提出了可以直接解标准形式线性规划的仿射尺度法及其变形：原—对偶仿射尺度法［5］。对于大规模线性规划问题，当约束条件和变量数目增加时，内点法的迭代次数变化较少，且有很好的鲁棒性和收敛特性。
本文结合Bender''s分解技术和原－对偶仿射尺度法，解决了城市高中压配电网的长期无功优化规划问题。通过实际电力系统的计算结果表明，此算法的迭代收敛次数稳定，适合于大规模电力系统的无功优化规划计算。
2无功优化规划模型
无功优化规划的目的是通过调整运行变量和投资变量使包括运行费用和无功设备投资在内的总费用最小。其目标函数由投资费用和运行费用两部分组成，即在满足系统运行和投资限制的等式约束和不等式约束的基础上使目标函数达到最小，其基本模型为［4］：
式中：C1为投资费用，Co为运行费用，Ur为可补偿点的新增感性无功设备向量，Uc为可补偿点的新增容性无功设备向量，Z为运行控制变量。等式约束为功率平衡方程，不等式约束为保证系统正常运行的其它条件，包括电压幅值的上下限、电源点的无功出力的上下限、已经安装无功补偿设备的容量限制以及变压器可调变比的上下限等。
3无功优化规划的Bender''s分解
对式（1）的无功优化规划模型应用Bender''s分解技术，可将原问题分解为以投资变量为控制变量的投资子问题和以运行变量为控制变量的运行子问题，通过两个问题之间的迭代求解可以获得最终的最优解。
在给定投资方案的情况下，无功优化规划问题就是一个电力系统运行的无功控制问题，这里称之为运行子问题。本文的无功优化规划是在有功已经被经济分配的基础上进行的，所以运行子问题就是最优潮流中的无功最优问题。
把变压器变比看作连续可调的量，在系统初始状态处对潮流方程和变压器数学模型进行线性化处理，并根据节点类型对矩阵分块，可得到［4］：
式中：Jij是雅克比矩阵的子矩阵，Δδ为节点电压相位角的变化量向量，ΔV是节点电压幅值变化量向量，ΔN是变压器变比的变化量向量。下标s、g、c分别表示松弛节点、普通电源点和无功设备可补偿点。下标l、l′分别表示所有的负荷节点和不作为无功电源可补偿点的负荷节点（包括联络节点）。
假定系统中有功功率损耗量的变化全部由松弛节点来承担，则松弛节点功率的变化即为系统网损的变化。假设ΔPl=ΔPg=ΔQl′=0和Δδs=Δδgl=0，进行相应的简化和推导，可得运行子问题的数学模型，该型为无功最优潮流问题的线性化模型：
ε为折算到规划起始年的系统电价，分别为已经安装的无功补偿设备容量，节点电压和变压器变比的变化量的上下限，ΔUc为新上无功补偿装置的容量，作为投资变量在运行子问题中是一个定值。
运行子问题中对应于无功约束的对偶向量表示在相应节点上增加无功设备投资将使运行费用减小的信息［4］。利用Bender''s分解技术，将该向量以Bender''s割的形式返回到无功优化规划数学模型的目标函数中，可形成如下投资子问题：
其中：λi表示对应于运行子问题中i节点无功约束的对偶变量，Ci表示对应于i节点的无功设备价格，ΔUi表示对应于i节点的新上无功补偿装置的容量，nc表示无功可补偿点的个数。
通过求解投资子问题得到新的投资方案，将其返回到运行子问题中求解新的投资方案下的最优运行方案。迭代过程如图1所示：4求解无功优化规划问题
应用Bender''s分解求解无功优化规划问题，就是利用该问题中投资变量和运行变量的不同特点及相互关系将其分解为运行子问题和投资子问题并迭代求解。对于运行子问题，即无功最优潮流问题，可以使用内点法中的原－对偶仿射尺度法进行求解。然后把运行子问题解的信息通过Bender''s割返回到投资子问题，判断是否为最优的投资方案。
4.1利用内点法求解运行子问题
引入松弛变量，化为标准形式：
在目标函数中引入对数壁垒函数，消去s1，s2，l，u的非负性约束，得：
对式（6）中的约束引入拉格朗日乘子向量p，y,z,w,v（即为运行子问题的对偶变量），并增广到目标函数中，得到拉格朗日函数：
用牛顿法解非线性方程组（9），并整理可得：
求解此线性方程组，得到部分原变量和对偶变量的转移方向Δp，Δy，Δz，Δx，就可求出其它变量的转移方向。
为了保证原变量s1≥0，s2≥0，l≥0，u≥0，和对偶变量y≥0，z≥0，w≥0，v1≥[1][2]下一页
