关键词：电力系统；奇异霍普夫分岔(SHB)；奇异诱导分岔(SIB)；微分代数方程(DAE)模型；奇异摄动常微分方程(ODE)模型1引言
20世纪70年代分岔理论的异军突起，为分析研究非线性动态系统的一些特殊性态提供了一个极其有效的工具。电力系统是一个高度非线性非自治的复杂大系统，它可由含参数的高维非线性微分代数方程（DAE）组或奇异摄动常微分方程(ODE)描述，甚至可能包含差分方程、条件语句等在内的混合方程组。随着对非线性动力学的深入研究，对电力系统稳定性的研究也从静态到稳态，由简单模型到复杂模型，由规则到混沌运动不断地深入。深入研究电力系统分岔问题不仅对揭示电压失稳机理具有重要的意义，同时对整个电力系统分析也具有重要的理论价值和实际意义。但是，目前该领域的研究还处于很不成熟的阶段，大多数研究都是针对特定的系统、特定的模型进行分析的，对不同模型发生分岔的特点及其相互关系研究甚少，没有从理论的角度系统地阐述。
本文分析了不含阻尼项的电力系统奇异ODE模型和包括阻尼项的电力系统ODE模型发生霍普夫分岔（SHB）的特点及其和对应的DAE模型发生奇异诱导分岔（SIB）的相互关系，具体包括：
（1）拓展了Stiefenhofer等人用式(1)所描述的不计及阻尼项的电力系统ODE模型SHB分岔定理的应用，使其与慢性流形的维数n无关[1,2]，并在此基础上解释了无阻尼电力系统DAE模型发生单SIB分岔和无阻尼电力系统奇异ODE模型发生SHB分岔在一定的条件下[1,2]是一一对应的这一特点。
式中xτ=dx/dτ；f,g是所有变量的光滑函数，x,y,λ分别为状态变量、代数变量和分岔参数，ε为摄动常数，Rm和Rn分别表示m维和n维欧氏空间。
（2）将SHB定理推广到式(2)所描述的包括阻尼项id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600"o:spt="75"o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f">
下一节将从式(2)的Hopf分岔这个角度来解释双奇异诱导分岔(SIB)点，首先引入关于式(1)的SHB定理，然后将其推广到式(2)中。
2奇异摄动、单奇异和双奇异分岔点性质
2.1Hopf曲线
假设式(1)对所有的(λ,ε∈R2都有一个平凡平衡点，根据Baer和Stiefenhofer定理的结论[1,2]知：当n=1时，
其中N(*)表示线性映射*的零空间；<k>=R.k=(μk:μ∈R,k∈Rp)；I表示区间(0,ε0),ε0为某一小正数。
在电力系统分析中，称式(3)为负荷潮流奇异的条件，它贯穿在电力系统很多分析和研究工作中。式(3)也通常被引用作为电力系统由于电压崩溃而引发灾难性事故的可能原因在DAE理论中式(3)被称为“解流形的奇异性”，然而在奇异摄动理论里，通常用“慢流形奇异性”来描述。
若ε(0)=0,且s≠0时，ε(s)≠0，存在某一个光滑函数saw(s)>0,使得对所有的s∈I都有jw(s)∈б{K[λ(S),ε(s)]}成立。则称曲线为一条奇异霍普夫(Hopf)曲线。其中б(*)表示矩阵束的谱；L''(*)表示向量空间*上所有线性映射空间；表示映射。
研究表明，奇异Hopf曲线的存在性与周期解和duck振荡的存在性有关。而且，如果没有进一步的横截性条件假设，奇异Hopf曲线的存在性也并不直接蕴含周期解和duck振荡的存在性[3,4]。
后面将集中探讨对于s∈I[1][2][3][4]下一页
