关键词：混沌;局部交叉数;相对旋转率;链接数;电力系统1引言近年来，随着对电力系统稳定性研究的深入，许多学者相继发现在电力系统中存在十分复杂的混沌现象[1~3]。混沌是在确定性系统中由于内在随机性而产生的一种外在的、复杂的、貌似无规则的运动。混沌是有序和无序矛盾的统一体。由于混沌的本质是奇怪吸引子[4]，因而混沌研究的根本工作是研究奇怪吸引子的特性。
目前有两种混沌时间序列的分析方法：测量法和拓扑法[5]。测量式方法是基于距离概念的方法，通过计算李雅谱诺夫指数和分形维数等一系列特征量来刻画吸引子特性。这些特征量的计算需要大量数据，而且随附加噪声信号的大小特征量有明显变化，同时此法对研究系统如何建模不十分有效。拓扑式方法是研究如何构建嵌入奇怪吸引子中不稳定周期轨道的方法。一旦流的双曲结构确定，其周期轨道与分支流行的轨道间就存在一一对应关系，即存在拓扑不变量。这对于研究系统构成及建模具有重要意义。
本文采用拓扑式方法提取电力系统一模型的拓扑不变量，研究该拓扑不变量与混沌模型和参数变化之间的关系，从而为诸如电力系统特征分析、动态系统状态检测、故障诊断等领域的研究提供了一条新思路。
2拓扑不变量的提取方法
2.1提取方法简介
当系统进入混沌态后，吸引子呈现杂乱无序状态，但实际上吸引子是由无穷多个周期轨道和无穷多个非周期轨道叠加而成，其中无穷多个周期轨道是构成吸引子的“骨架”。若吸引子内的一点在某不稳定的周期轨道附近，则此点经过一段时间后必返回该点的ε邻域[5,6]。依据此定理，利用回归图可对时序数据进行周期轨道的提取。有必要指出，利用回归图即可以提取稳定的周期轨道，又可以提取不稳定的周期轨道。实际上这些轨道是嵌入三维空间中的简单闭曲线在二维平面内的投影。简单闭曲线是指连通的、封闭的、不自交的曲线[7]。以下3个拓扑不变量的提取均是建立在已抽取的各周期轨道基础之上的。
2.2局部交叉数的提取
局部交叉数是描述倍周期分叉的一个重要物理量，它是指沿某管状邻域产生周期加倍的两轨道间相互缠绕的数目。局部交叉数Cn一般的计算方由于局部交叉数与轨道功率谱间也有密切的关系，因而也可通过功率谱来求取局部交叉数Cn。
2.3相对旋转率RRR（自相对旋转率）和链接数L（自链接数）的提取
相对旋转率描述的是一个轨道围绕另一个轨道旋转的平均速率，一般为分数。链接数为一个周期轨道A缠绕另一个周期轨道B的次数，它是所有初始条件下A、B轨道相对旋转率的总和。嵌入吸引子中所有周期轨道的相对旋转率和链接数能够唯一鉴别出回归映射机制，同时还能解释奇怪吸引子的产生，它们是模型的拓扑不变量。相对旋转率还提供了链接数所不能反映的相位信息[10]。
周期p的轨道A与周期q的轨道B之间的相对旋转率是利用2个矩阵P（顺序阵）、C（交叉阵）构成的[5,6]。具体做法为：先采用Poincare截面将A、B轨道分为a1,…,ap，b1,…,bq段。然后，按时间顺序将各段连接起来即构成P阵，C阵是由A、B各段相互之间的交叉数构成的矩阵。最后，按式(3)、(4)计算相对旋转率矩阵RRR和链接数L。
自相对旋转率和自链接数的含义及计算同上。图1所示为某奇怪吸引子的周期2轨道（实线）与周期1轨道（虚线）相互缠绕图。Cut为Poincare截面投影所在位置，图1中1~3是2个周期轨道与其Poincare截面的交点。图示轨道的RRR及L的计算结果如下：
RRR(A,B)=1/2L(A,B)=2。3电力系统动态现象的拓扑特征提取及分析
3.1系统模型下面采用拓扑式方法，以图2所示的3节点系统为例[1]，对系统在倍周期分叉和混沌状态时的拓扑特征及敏感参数对系统状态的影响进行分析。
图2为一个简单的三母线系统。负荷由一个电动机模型（代表工业负荷）并联一个常规PQ负荷和一个阻抗负荷（代表商业负荷）构成。系统模型的一般表示形式为
系统状态变量x的取法同文献[1]，即x=[δm,ω,δ,V]T，其中，δm、ω、δ、V分别代表发电机角度及角速度和负荷电压的角度及幅值。选取负荷的无功功率Q1为参数，以使Q1的增长对应负荷无功功率的增长。系统模型的方程如下（参数取值同文献[1]）：
3.2周期轨道的抽取及系统分叉图
由倍周期分叉进入混沌是产生混沌的主要途径，而分叉图是研究这一过程的有利工具。对于图2系统利用Poin[1][2][3][4]下一页
