关键词：多机电力系统；数值微分；曲率系数；非线性振荡；分歧1引言
自20世纪60年代美国电力系统发生增幅性低频振荡使系统稳定遭到破坏以来，人们对振荡产生的机理及防范措施等进行了深入的研究。人们发现，由于Hopf分歧的出现，机电振荡模式（频率为0.2~2.5Hz）会出现一些奇异现象。即在临界点左侧附近（特征根全位于S平面左半平面），如果轨道不稳极限环出现，系统将在小扰动下分歧出增幅性非线性振荡[1,2]；而在临界点右侧附近（有一对特征根位于S平面右半平面），如果轨道稳定极限环出现，系统将在小扰动下分歧出稳定的非线性等幅振荡[3]，这两种现象在国内外电力系统中都出现过。在国内，20世纪80年代初期，东北松滨线（丰满—哈尔滨）线路上的功率摇摆、20世纪90年代黑龙江北部区域网中的等幅振荡等，就可能是机电模式的非线性振荡。当时虽然也有人认为是非线性振荡，但苦于分析理论与方法的缺欠，而没有深入进行这方面的分析研究。
对多机系统进行非线性振荡的分析计算，其最大的难点就是采用什么方法将多维非线性系统压缩到2维的中心流形上，用什么方法求出相关的中心流形变量的高阶偏导数，解出曲率系数。本文采用复变量的方法对高维非线性空间进行了约化，并用数值方法避开解析求导，在一阶偏导基础上直接计算相关的2阶、3阶偏导数，求得了曲率系数，成功地完成了多机电力系统非线性振荡的分析研究。通过一个算例，得出了由于系统本身非线性奇异特性造成系统在低频（0.2~2.5Hz）范围内出现非线性等幅振荡的新结论。
2复变量的中心子空间
对n机系统，消去非发电机节点后的状态方程为
式中x∈RN,N≥2,u∈R是系统的参数。
系统雅可比矩阵,X*为系统平衡点。当u变化至u=uc时，A的特征根将出现一对纯虚根λ1(uc)=a(uc)±jwc(uc)，即a(uc)=0，而A的其余特征根实部均小于零，且。这时，系统在临界点uc附近拓扑结构将发生改变，分歧出极限环，出现非线性振荡。分析这种非线性振荡的主要工作就是求曲率系数和横截条件à(uc)。其求解步骤为：
（1）约化高维非线性空间，分裂式(1)为局部衰减的子空间和中心子空间，中心子空间将由分歧方程的解流形所构成，曲率系数由分歧方程给出[4]。排列A的N个特征根，Rel1≥Rel2≥…≥RelN，令u1和v1为相应于l1的右特征向量和左特征向量，u1=ur jui，规格化u1，使之第一个不为零的元素是1，相应于u1规格化v1，以使。取线性变换矩阵U=[ur,-ui,…,]，变换阵中，除向量ur,-ui外，其余向量也可取A的右特征向量（把实、虚部分开以实向量的形式表示），对状态向量x作线性变换
x=x* Uy(2)式中y=(y1,y2,…,yn)T。
则变换后系统平衡点将在坐标原点，而A阵将变为由特征根(实、虚部分开)组成的对角块阵[1]。新的状态变量中，y1，y2为中心流形变量，它将是主导系统动态特性的主要变量；y3,y4,…,yN为非中心流形变量，非中心流形变量将是衰减的。为此，在分析中可取y3=y4=…=yn=0[4]，这样一来，式(2)将成为
（2）以复变量作为中心流形变量，即令z=j1 jy2，两维的中心子空间将变为一维的复空间，使高维非线性空间的约化计算简单化。那么,
式(7)为中心流形按复变量z做泰勒级数展开后的2阶项。因为中心流形是实向量值函数，所
3数值微分求解曲率系数
对低阶且不含中间变量的系统，用解析法求曲率系数b2是可行的。但系统阶数较高，特别是对多机电力系统，其数学模型是由状态方程、网络方程和机端电压方程共同组成的，中心流形变量又是经x变换后的新变量，要想用解析方法写出f对中心流形变量的2阶以上偏导数，是相当困难且相当繁杂的，甚至是根本办不到的。为此，本文避开解析求导，在一阶偏导数的基础上利用数值微分直接求取f对y1，y2的2阶和3阶偏导数，进而求得f[1][2][3]下一页
