关键词:结构奇异值;线性矩阵不等式;鲁棒稳定性;SMIB1引言
电力系统作为典型的非线性大系统，其复杂程度日益增加，系统的动态特性对控制作用的要求也越来越高。由于发电机组、负荷和传输网络参数的变化，电力系统的运行条件处在持续的变化中，所以要求控制器对不确定的运行条件具有良好的鲁棒性，这促进了Kharitonov区间多项式理论、H∞和L∞等现代鲁棒控制理论在电力系统中的广泛应用。但是，作为现代控制理论的重要成果与研究方向之一的m(结构奇异值，SSV)方法，却由于在理论和算法方面的困难使其始终未能有效地应用到电力系统中。同其他鲁棒控制方法相比，m方法在处理具有复杂结构的不确定参数对系统的稳定性和性能的影响时具有更好的适应性，所得到的理论结果也更精确。但在一般情况下，m的真实值很难计算(其在本质上为N-PHard问题)，通常只能对m的上界进行估算，而要对具体系统设计m控制器则更加困难。迄今为止，比较有效的m方法主要是以文[1]为基础的G-D乘子(D-K迭代)方法[2]和基于文[3]的LMI（线性矩阵不等式）方法[4]。G-D乘子(D-K迭代)方法是最早提出的m方法，该方法理论上比较成熟，计算量适中，结合频率扫描技术可以得到很精确的m分析结果，但是其在计算的可靠性、收敛性和控制器结构等方面有很多尚未解决的问题，如：控制器阶次无法确定，因而在大规模复杂系统如电力系统的控制器设计中比较难于应用。LMI方法出现较晚，因而在理论方面尚不如G-D乘子(D-K迭代)方法研究得深入，但其在收敛性、计算精度上有更好的数值性态(其本质为凸优化问题)，并且对控制器结构上的各种约束条件如阶次、反馈形式等比较容易实现。由于一般形式的LMI方法的计算量过大，如果不对算法进行优化处理，即使对中等规模的问题应用起来也很困难。文献[5]最先将m方法引入到单机系统PSS设计中，随后，文[6,7]探讨了将m方法引入到多机系统鲁棒稳定性分析中，并给出了用m方法分析具有不确定参数的电力系统鲁棒稳定性的应用框架。这些研究采用传统的G-D乘子方法，并得到了一些分析性的结果，而对于基于LMI的m方法在电力系统中的应用，特别是电力系统的m控制器设计问题，则由于理论和算法上的困难至今尚未见诸于文献。本文结合文[4,6,7]中的结果，对文[4]中基于LMI的m分析综合方法进行了优化，给出了基于大规模稀疏LMI算法的m鲁棒控制器设计算法，并以文[6,7]中的应用框架为基础，将m方法应用于典型的SMIB(单机无穷大母线)系统励磁控制鲁棒稳定性的分析和鲁棒控制器的设计中，并将结果同经典的PSS控制器的结果做了比较。
2m分析与综合的LMI方法
2.1基本概念
m(结构奇异值)是作为矩阵奇异值理论的推广提出来的。对于一个复矩阵M和给定的不确定量集合Δ，结构奇异值u△（M）刻画了摄动阵Δ对复矩阵M的稳定性的影响程度的一种度量。
定理1给出了无保守性的鲁棒稳定性判据，但在一般情况下，μ的真实值很难计算，通常只能对μ的上界进行估算。
由定理2，可将不确定量集合Δ的m的上界问题转化成有限个LMI可行解问题。但对于m控制器设计问题，采用定理2的方法通常只能得到BMI(双线性矩阵不等式)检验判据。文[5]采用了对P的展开式进行首项截断的方法，得到了LMI形式的线性状态反馈系统检验判据。2.2m方法的优化LMI算法
定理2或定理3中的LMI判据比较复杂，可先将其化成一般形式的LMI
式中Mi,NiÎRki´a为已知；xÎRq为优化变量；线性映射X将Rq映射到Ra´a中的q维线性子空间；Mi,Ni及X的具体形式由LMI判据确定。
则定理2或定理3等价于采用投影迭代方法[8]来判断q维线性空间{E(x)│x∈Rq}与正定矩阵锥是否有交集，即在每次迭代过程中求解正定阵Xk到E(x)空间上的投影
对于以上最小二乘问题，通常可采用QR分解法求解。在不考虑计算误差的情况下，QR分解法得到的是精确解。但是对特殊形式的F(x)(稀疏对角分块，具有He{}结构等)，QR分解法无法利用F(x)的内部结构来加速求解，而当F(x)的维数很高时(实际应用中，F(x)的维数可达到103~104数量级)，计算误差的存在也使得精确解失去意义，而且在实际应用中,F(x)的显式表达式一般很难得到。在这种情况下，采用迭代法来代替QR分解法求近似解会有更好的效果。
由上式即可构造相应的LSQR算法[9]。
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